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재화의 가격이 하락하면 가격효과가 발생하여 수량이 늘어나게 되는데 이를 분해하여 분석을 해보면 가격효과는 소득효과와 대체효과로 구성이 됩니다. 이는 가격이 하락함에 따라서 실질소득이 증가하게 되는 소득효과가 발생하고 다른 재화에 대하여 상대적으로 가격이 싸지면서 발생하는 대체효과로 인하여 수량이 늘어가게 됩니다.

소득효과

q1의 재화의 가격이 하락하면서 수량이 D->F로 증가하게 되고 소비자 균형점이 E->E'로 이동하게 됩니다. 결국 예산선이 증가하는 모습으로 나타나게 되는데 E'에서의 예산선을 E의 예산선으로 되돌려 보면 E''의 균형점으로 이동을 하게 되는데 이는 소득의 증가를 배재하였을 때의 소비자 균형점이 됩니다. 즉 재화의 가격 하락은 실질소득의 증가로 인하여 B'-B만큼의 수량 증가를 가져오게 됩니다. 이를 소득효과에 대한 수량 변동으로 이야기 할 수 있습니다.

대체효과

q1 재화의 가격이 하락하면서 상대적으로 q2 재화보다 저렴해지면서 대체되는 효과가 나타나게 됩니다. 이는 원래의 균형점 E에서 소득효과를 배제한 E''로 균형점이 이동하면서 발생하는 q2 재화의 수량 변화인 G-H만큼의 수량이 대체되어 q1 재화의 수량이 A-B'로 증가되는 것으로 나타나게 됩니다. 이는 q1 재화가 대체효과로 인하여 증가되는 수량 A-B'을 대체효과에 대한 수량 증가라고 할 수 있습니다.

탄력성에 따른 재화의 소비자균형점 변화

x의 가격효과는 해당 재화의 탄력성에 따라서 다르게 소비자 균형점이 이동하게 됩니다. 이로 인해서 가격 효과가 위와 같이 달라지게 됩니다. 

보상수요

가격효과로 인하여 발생하는 소득효과를 보상해 줌으로 대체효과에 대하여 예산을 줄이거나 동일 효용으로 나타내고 싶을 때 사용되는 보상에 대한 내용입니다. 이를 수학적으로 풀수가 있는데 보상수요 함수는 예산을 극소화하고 제약조건으로 효용 함수를 사용하여 계산합니다.

소득소비곡선(income-consumption curve : ICC)

소득이 증가함에 따라 새로운 소비자 균형점들을 연결한 곡선으로 소비자 균형점을 매번 구하기 어렵기 때문에 재화의 가격이 동일하다는 가정하에 소득이 변경될 경우에 발생되는 소비자 균형점들을 함수화 하여 만들어 놓은 곡선으로 소득 변화에 대해서 각 재화의 변경 수량을 찾기 쉽도록 만들어 놓은 곡선입니다.

또 이 곡선은 재화가 소득에 대해 탄력적인지 열등재인지에 따라서 곡선의 우상향하거나 우하향하는 모양으로 달라질 수 있습니다.

가격소비곡선(price consumption curve : PCC)

가격이 증가함에 따라 새로운 소비자 균형점을 연결한 곡선으로 소득이 동일한 조건에서 한가지 재화의 가격이 변경될 경우에 발생되는 소비자 균형점들을 함수화 하여 만들어 놓은 곡선으로 재화의 가격 변화에 대응하기 쉽도록 합니다.

PCC곡선에서 한가지 재화의 가격이 x1, x2, x3로 변화하면서 소비자 균형점이 P,Q,R로 변화하게 되는데, 이 때의 x재에 대한 수량 x1,x2,x3의 소비자 균형점에서 보는 해당 재화의 가격 p1,p2,p3를 연결하면 다음과 같은 곡선이 됩니다. 이 곡선이 곧 가격과 수량의 우하향하는 곡선인 수요곡선으로 증명됩니다.

다시 이야기하면 수요곡선은 소비자 균형점으로 이루어진 곡선이 되고, 이는 소비자가 소비자법칙을 따라서 효용을 극대화하기 위해서 반듯이 행동하는 의지를 보여줍니다. 단지 가격을 모르기 때문에 시장에 나가서 가격을 확인하고 해당 가격에 따른 수량을 결정하여(이미 소비자의 마음속에 결정되어 있는 소비자균형점에서) 소비를 하게 됩니다.

(수요곡선)

결국 가격이 비싸지면 수량을 줄여서 소비를 하게 되고 가격이 싸지면 수량을 많이 소비하는 소비자 법칙에 따라 시장에서 활동을 하게 됩니다.

앞에서 배운 소비자 균형점(예산내에서 효용이 극대화되는 점)을 수학적으로 풀기 위해서는 2차 방정식과 편미분들을 이용해서 풀어야 하는데 두가지 재화가 아니라 3,4가지 이상의 다수의 재화에 대한 소비자 균형점을 찾기 위해서는 수학적으로 풀기가 쉽지 않습니다. 이를 보다 쉽게 풀수 있도록 해주는 것이 라그랑지 함수입니다.

개념적으로는 극대화 되는 효용에 대한 무차별 곡선을 그린 다음 이에 대한 최소화 된 비용의 예산선이 몇 배(람다,λ)가 되면 되는지를 구하는 방식으로 접근합니다. 이는 편미분을 제로로 하여 구하기 때문에 곡선에 대한 극대값이나 극소값을 구하여 답을 찾아갑니다.

목적 함수인 무차별 곡선의 함수(xy)와 제약조건이 되는 예산선(예산=10만, x가격 1천원, y가격 2천원일 경우)에 대한 함수를 대입하면 다음과 같이 됩니다.

= xy + λ (10,000 - 1,000*x - 2,000*y)

위 라그랑지 함수를 각 변수에 대해서 편미분을 하고 그 값이 제로가 되는 함수를 생성합니다.

Lx = 0 = y -1000 λ

Ly = 0 = x - 2000 λ

Lλ = 0 = 10,000 - 1,000*x - 2,000*y

3가지 변수와 3가지 함수가 있으니 방정식을 풀어서 각 변수값을 구할 수 있습니다.

10,000 - 1,000*(2000λ) - 2,000*(1000λ) = 0

λ = 10,000 / 4,000,000 = 1/400

y = 2.5개

x = 5개

즉, 10만원의 예산내에서 천원자리 x재는 2.5개 구매하고, 2천원짜리 y재는 5개 구매하면 소비자 균형점이 됩니다.

자코비안 행렬(J)

변수가 3개 이상일 때 한번 미분해서 제로로 두고 변수의 행렬을 구하여 푸는 방법입니다.

해당 값이 마이너스면 극대값, 플러스면 극소값이 됩니다.

헤시안 행렬(H), 헤시안 디터미먼트(|H|)

변수가 3개 이상인 다변수일 때, 제약조건이 없을 때 두번 미분해서 극대, 극소 값을 판단하는 방법입니다.

마찬가지로 해당 값이 마이너스면 극대값, 플러스면 극소값이 됩니다.

제약조건이 있을 때에는 유테 헤시안(The Bodered Hessian)을 사용하여 극대, 극소 값을 판단하게 됩니다.

무차별 곡선 이론 (Indifference Curve : IC)

효용이 100인 x재와 효용이 200인 y재가 있다고 해봅니다.

각각 5개의 수량으로 구매를 한다고 할 때 x재는 500의 효용을 주고 y재는 1000의 효용을 줍니다. 이를 합하면 1500의 효용이 됩니다. 이 때, 같은 효용의 결과가 되는 수량을 찾아보면 7개, 4개도 되고 9개, 3개도 역시 1500의 효용으로 나타나게 됩니다.

이렇게 동일한 효용을 주는 x,y재의 조합을 연결한 곡선이 무차별 곡선이라 합니다.

특징

무차별 곡선은 우하향하는 곡선으로 나타납니다. 각 점의 기울기가 항상 마이너스(-) 값입니다.

무차별 곡선은 원점에서 멀어질수록 효용이 커집니다.(1500 -> 2000 -> 2500) 즉, 만족도가 높아집니다.

무차별 곡선은 절대 교차하지 않습니다. 만약 교차한다면 무차별 곡선이 아니게 됩니다. 같은 가격에 같은 수량을 샀을 때 효용이 달라지는 의문에 사고가 발생하게 되기 때문입니다.

무차별 곡선은 한계대체율이 체감하는 이유로 볼록한 모양으로 그려집니다.

가장 좋은 선택은 예산안에서 가장 큰 효용을 주는 원점에서 가장 먼 곡선(I2)을 선택하고, 그 곡선내에서 수량을 결정하는 방법입니다.(A,B,C)

예산선 (Budget Line : BL)

예산 금액을 기준으로 살 수 있는 x재와 y재의 가격과 수량을 나타내는 선으로 기울기가 마이너스(-)인 1차 방정식의 선이 됩니다.

예산을 넘어서는 소비를 하지 못하기 때문에 예산 내에서 지불을 해야 함으로 소비에 있어서 제약조건이 됩니다. 예산선을 넘어서는 무차별 곡선을 이용하지 못하므로 만나서는 점(B)이 최대 예산에서 소비할 수 있는 지점이 됩니다. 이 점이 소비자 균형점이 됩니다.

소비자 균형점

소비자 균형점은 무차별 곡선과 예산선이 만나는 지점으로 이를 구하기 위해서는 무차별 곡선의 기울기과 예산선의 기울기가 같은 지점을 구함으로서 예산내에 효용의 극대화를 추구하는 두 재화의 수량을 구할 수 있습니다.

결국 다시 풀어보면 MUx / Px = MUy / Py 와 같으므로 한계효용 균등의 법칙과 같은 의미를 나타내기도 합니다.

한계대체율 (Marginal Rate of Substitution : MRS)

무차별 곡선의 기울기를 이야기하는 것으로 무차별 곡선의 각 점마다의 기울기가 달라지는 현상입니다. 기울기는 y재의 변화율을 x재의 변화율(dy / dx)로 나눈 것으로 이런 기울기가 감소하는 것으로 나타납니다.

이는 사과가 1개 변화할 때 배가 0.5개씩 줄어드는 비율이 되어 배를 대신하여 사과로 대체가 되는 수량을 결정하게 되는 현상입니다. 그리고 이 비율이 줄어들게 됩니다.

사과 입장에서 보면 1개씩 증가함에 따라서 한계 효용이 감소하는 체감의 법칙으로 나타나고 (수량이 증가되기 때문에 효용은 감소), 배의 입장에서 보면 사과로 대체되어 배의 수량이 감소하기 때문에 한계 효용이 증가하는 체증의 법칙으로 나타납니다.

이렇게 한 쪽은 체감하고 한쪽은 체증하기 때문에 한계대체율은 가파르게 나타나는 곡선이 됩니다.