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앞에서 배운 소비자 균형점(예산내에서 효용이 극대화되는 점)을 수학적으로 풀기 위해서는 2차 방정식과 편미분들을 이용해서 풀어야 하는데 두가지 재화가 아니라 3,4가지 이상의 다수의 재화에 대한 소비자 균형점을 찾기 위해서는 수학적으로 풀기가 쉽지 않습니다. 이를 보다 쉽게 풀수 있도록 해주는 것이 라그랑지 함수입니다.

개념적으로는 극대화 되는 효용에 대한 무차별 곡선을 그린 다음 이에 대한 최소화 된 비용의 예산선이 몇 배(람다,λ)가 되면 되는지를 구하는 방식으로 접근합니다. 이는 편미분을 제로로 하여 구하기 때문에 곡선에 대한 극대값이나 극소값을 구하여 답을 찾아갑니다.

목적 함수인 무차별 곡선의 함수(xy)와 제약조건이 되는 예산선(예산=10만, x가격 1천원, y가격 2천원일 경우)에 대한 함수를 대입하면 다음과 같이 됩니다.

= xy + λ (10,000 - 1,000*x - 2,000*y)

위 라그랑지 함수를 각 변수에 대해서 편미분을 하고 그 값이 제로가 되는 함수를 생성합니다.

Lx = 0 = y -1000 λ

Ly = 0 = x - 2000 λ

Lλ = 0 = 10,000 - 1,000*x - 2,000*y

3가지 변수와 3가지 함수가 있으니 방정식을 풀어서 각 변수값을 구할 수 있습니다.

10,000 - 1,000*(2000λ) - 2,000*(1000λ) = 0

λ = 10,000 / 4,000,000 = 1/400

y = 2.5개

x = 5개

즉, 10만원의 예산내에서 천원자리 x재는 2.5개 구매하고, 2천원짜리 y재는 5개 구매하면 소비자 균형점이 됩니다.

자코비안 행렬(J)

변수가 3개 이상일 때 한번 미분해서 제로로 두고 변수의 행렬을 구하여 푸는 방법입니다.

해당 값이 마이너스면 극대값, 플러스면 극소값이 됩니다.

헤시안 행렬(H), 헤시안 디터미먼트(|H|)

변수가 3개 이상인 다변수일 때, 제약조건이 없을 때 두번 미분해서 극대, 극소 값을 판단하는 방법입니다.

마찬가지로 해당 값이 마이너스면 극대값, 플러스면 극소값이 됩니다.

제약조건이 있을 때에는 유테 헤시안(The Bodered Hessian)을 사용하여 극대, 극소 값을 판단하게 됩니다.